Calculer des puissances d'une matrice - Corrigé

Énoncé

Dans cet exercice, on considère la matrice \(A=\begin{pmatrix}4&-4&-3\\1&11&3\\-2&-4&3\end{pmatrix}\) . L'objectif est de trouver une formule générale pour  \(A^k\)  qui permettra de calculer de façon rapide des puissances de  \(A\) .

1. On considère la matrice  \(P=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 2& 1&-1\\ -1&1&2\\2&-2&-1 \end{pmatrix}\) .
Vérifier que  \(P\)  est inversible avec  \(P^{-1}=\begin{pmatrix} 1& 1&1\\ 1&0&-1\\0&2&1 \end{pmatrix}\) .

2. Calculer  \(P^{-1}AP\) . Que remarque-t-on ?

3. En déduire une expression générale de  \(A^k\)

4. Que vaut  \(A^5\)  ?

Solution

1. On vérifie simplement que  \(\begin{pmatrix} 1& 1&1\\ 1&0&-1\\0&2&1 \end{pmatrix}P=I_3\)  donc  \(P\)  est bien inversible et  \(P^{-1}=\begin{pmatrix} 1& 1&1\\ 1&0&-1\\0&2&1 \end{pmatrix}\) .

2.  \(P^{-1}AP=\begin{pmatrix} 3& 0&0\\ 0&6&0\\0&0&9 \end{pmatrix}\) . C'est une matrice diagonale \(D\) .

3. On a donc  \(A=PDP^{-1}\)  et pour, tout entier naturel  \(k\) ,  \(A^k=PD^kP^{-1}\)  que l'on peut aisément prouver par récurrence à partir de  \(A=PDP^{-1}\) .
Donc  \(A^k=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 2& 1&-1\\ -1&1&2\\2&-2&-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3^k& 0&0\\ 0&6^k&0\\0&0&9^k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1& 1&1\\ 1&0&-1\\0&2&1 \end{pmatrix}\)

Pour ceux qui le souhaitent, on pourrait développer ce produit de trois matrices...